積分計算
計算したい公式を選択し、必要な値を入力してください：
aの値:
bの値（必要な場合）:
次のツールも使用できます: logの計算
計算したい公式を選択し、必要な値を入力してください：
aの値:
bの値（必要な場合）:
積分計算は、関数の面積や体積を求めるための強力な数学的手法です。不定積分と定積分は、積分の二つの主要なタイプです。
| 積分の種類 | 公式 | 説明 |
|---|---|---|
| 不定積分 | ∫f(x)dx = F(x) + C | 関数f(x)の原始関数F(x)を求める計算。 |
| 定積分 | ∫abf(x)dx | 関数f(x)の区間[a, b]における積分値を求める計算。 |
不定積分の計算では、関数の積分定数Cを含む原始関数を見つけます。積分定数は、無限に多くの原始関数が存在することを示します。
定積分の計算では、特定の区間[a, b]での関数の積分値、すなわちその区間での曲線下の面積を求めます。
これらの積分計算方法は、物理学、工学、経済学など多岐にわたる分野で応用されています。
積分の公式は、関数を積分する際に用いる重要なツールです。基本的な積分公式から特殊な積分公式まで、様々な関数に対応する公式が存在します。
| 関数 | 積分公式 |
|---|---|
| xn (n≠-1) | ∫xndx = (1/(n+1))xn+1 + C |
| ex | ∫exdx = ex + C |
| sin(x) | ∫sin(x)dx = -cos(x) + C |
| cos(x) | ∫cos(x)dx = sin(x) + C |
| 1/x | ∫1/x dx = ln|x| + C |
特殊な関数や状況に対しては、特殊な積分公式が必要となります。これらの公式は、積分計算を容易にするために開発されました。
これらの公式は、積分技術の理解を深め、より複雑な関数の積分を解く際に役立ちます。
積分は数学の中でも特に重要な分野の一つであり、基本的な例題から応用的な例題まで幅広く存在します。ここでは、積分を学ぶ上で役立ついくつかの例題を紹介します。
例題1: ∫x2dx を計算せよ。
解答: 基本的な積分公式 ∫xndx = (1/(n+1))xn+1 + C を用いて、解は (1/3)x3 + C となります。
例題2: ∫sin(x)dx を計算せよ。
解答: 基本的な積分公式 ∫sin(x)dx = -cos(x) + C を用いて、解は -cos(x) + C となります。
例題3: 定積分 ∫0πsin(x)dx を計算せよ。
解答: ∫sin(x)dx の原始関数は -cos(x) + C なので、定積分の計算には [-cos(x)]0π を用います。これを計算すると、2 となります。
例題4: 関数 f(x) = x2 の区間 [1, 3] における定積分を計算せよ。
解答: ∫x2dx の原始関数は (1/3)x3 + C です。したがって、定積分の計算には [(1/3)x3]13 を用い、計算すると、8/3 となります。
これらの例題を通じて、積分の基本的な計算方法や応用的な問題の解き方について理解を深めることができます。積分の計算は慣れが必要ですので、多くの問題を解いて練習することが重要です。